Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限）

（1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；

（2）当△CDE是直角三角形，且∠CDE=90° 时，求出点P的坐标；

（3）当△PBC的面积为时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3；直线BC的函数表达式为y=x-3；（2）P的坐标为（1-，-2）；（3）E的坐标为（0，-）.

【解析】

试题分析：（1）用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点C（0，-3），求出抛物线解析式即可；由抛物线的解析式可求出B的坐标，进而可求出线BC的函数表达式；

（2）当∠CDE=90°时，则CE为斜边，则DG2=CGGE，即1=（OC-OG）（2-a），求出a的值，进而得出P点坐标；

（3）当△PBC的面积为时，过P作PK∥x 轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2-2m-3，由已知条件可得：S△PBC=S△PKC+S△PKB=，进而可求出P的坐标，又因为点P在CE垂直平分线上，所以E的坐标可求出．

试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴-=1，

∴b=-2

∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），

∴c=-3，

∴抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3；

∵抛物线与x轴交于A、B两点，

当y=0时，x2-2x-3=0．

∴x1=-1，x2=3．

∵A点在B点左侧，

∴A（-1，0），B（3，0）

设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，

则，

∴

∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

（2）∵Rt△CDE中∠CDE=90°，直线BC的解析式为y=x-3，

∴∠OCB=45°，

∵点D在对称轴x=1与直线y=x-3交点上，

∴D坐标为（1，-2 ）

Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标（0，-1），

∵点P在CE垂直平分线上，

∴点P纵坐标为-2，

∵点P在y=x2-2x-3上，

∴x2-2x-3=-2，

解得：x=1±，

∵P在第三象限，

∴P的坐标为（1-，-2）；

（3）过P作PK∥x轴，交直线BC于点K，设P（m，n），则n=m2-2m-3

∵直线BC的解析式为y=x-3，

∴K的坐标为（n+3，n），

∴PK=n+3-m=m2-3m，

∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=，

∴×3KP=

∴m2-3m=，

解得：m=-或，

∵P在第三象限，

∴P的坐标为（-，-）

∵点P在CE垂直平分线上，

∴E的坐标为（0，-）