Question

【题目】如图，已知等腰△ABC，AC=BC=10．AB=12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）求DF的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）求证直线EF是⊙O的切线，只要连接OD证明OD⊥EF即可；

（2）由BC是⊙O直径，得到CD⊥AB，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==8，由于EF⊥AC，CD⊥AB，得出∠AFD=∠CDB=90°，推出△ADF∽△BCD，得到比例式，即可得到结论．

试题解析：（1）连接CD，OD，

∵AC=BC，

∴∠A=∠ABC，

∵OD=OB，

∴∠ABC=∠BDO，

∴∠A=∠BDO，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD，

∵OD为半径，

∴EF是⊙O的切线；

（2）∵BC是⊙O直径，

∴CD⊥AB，

∵AC=BC=10，又AB=12，

∴AD=BD=6，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD==8，

∵EF⊥AC，CD⊥AB，

∴∠AFD=∠CDB=90°，

又∵∠A=∠CBD，

∴△ADF∽△BCD，

∴，

∴，即DF=．