Question

【题目】如图，在矩形中，，，点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为，过点作交于点，以为一边作正方形，使得点落在射线上．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为，以为圆心，半径作．点与点同时出发，设它们的运动时间为(单位：)．

（1）如图1，连接，若平分，则的值为__________；

（2）如图2，连接，设的面积为，求关于t的函数关系式；

（3）在运动过程中，当为何值时，与第一次相切？

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）．

【解析】

（1）首先根据题意得出DB的长，然后证明△BPQ~△BCD，据此利用相似三角形性质分析得出、、，最后利用角平分线性质进一步求解即可；

（2）过点作于点，先证明△HMQ~△PQB，由此得出，最后根据三角形面积公式进一步计算即可；

（3）设与相切于点，连接，作于点，易得，然后进一步证明△DFO~△DCB，由此进一步求解即可.

（1）∵四边形为矩形，

∴、，∠A=∠C=90°，

∴，

∵四边形为正方形，

∴90°，

∵，

∴△BPQ~△BCD，

∴，即，

则、，

∴，

∵平分，

∴，即，解得：，

故答案为：1；

（2）如图，过点作于点，

∴90°，

则90°，

∴，

∴△HMQ~△PQB，

∴，即，则，

∴；

（3）如图，设与相切于点，连接，作于点，

则四边形为矩形，

∴，90°，

∵，

∴△DFO~△DCB，

∴，

即，

解得：．