Question

【题目】如图，抛物线y= （x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求点A，B，D的坐标；
（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；
（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．

令y=0，得 （x﹣3）2﹣1=0，

解得：x1=3+ ，x2=3﹣ ，

∵点A在点B的左侧，

∴A（3﹣ ，0），B（3+ ，0）

（2）

方法一：

证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．

令x=0，得y= ，

∴C（0， ）．

∴CG=OC+OG= +1= ，

∴tan∠DCG= ．

设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣ ）= ．

由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．

∴tan∠EOM=tan∠DCG= = ，

解得EM=2，

∴DE=EM+DM=3．

在Rt△AEM中，AM= ，EM=2，由勾股定理得：AE= ；

在Rt△ADM中，AM= ，DM=1，由勾股定理得：AD= ．

∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，

∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．

设AE交CD于点F，

∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），

∴∠AEO=∠ADC

方法二：

∵C（0， ），D（3，﹣1），

∴KCD= ，

∵OE⊥CD，∴KCD×KOE=﹣1，

∴KOE= ，

∴lOE：y= x，把x=3代入，得y=2，

∴E（3，2），

∵A（3﹣ ，0），D（3，﹣1），

∴KEA= = ，

∵KAD= ，

∴KEA×KAD=﹣1，

∴EA⊥AD，∠EHD=∠EAD，

∵∠EFH=∠AFD，

∴∠AEO=∠ADC

（3）

方法一：

解：依题意画出图形，如答图2所示：

由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，

要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．

设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2．

∵y= （x﹣3）2﹣1，

∴（x﹣3）2=2y+2．

∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5

当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．

将y=1代入y= （x﹣3）2﹣1，得 （x﹣3）2﹣1=1，

解得：x1=1，x2=5．

又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，

∴x1=1舍去．

∴P（5，1）．

∵△EQ2P为直角三角形，

∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点．

由切割线定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1

设点Q2的坐标为（m，n）

则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②

①﹣②得n=2m﹣5③

将③代入到①得到

m1=3（舍，为Q1）

m2=

再将m= 代入③得n= ，

∴Q2（ ， ）

此时点Q坐标为（3，1）或（ ， ）

方法二：由⊙E的半径为1，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小，

设点P坐标为（x，y），EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，

∵y= （x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2，

∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，

∴当y=1时，EP2有最小值，将y=1代入y= （x﹣3）2﹣1得：x1=1，x2=5，

又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，

∴x1=1舍去，∴P（5，1），

显然Q1（3，1），

∵Q1Q2被EP垂直平分，垂足为H，

∴KQ1Q2×KEP=﹣1，

∴KEP= =﹣ ，KQ1Q2=2，

∵Q1（3，1），

∴lQ1Q2：y=2x﹣5，

∵lEP：y=﹣ x+ ，

∴x= ，y= ，

∴H（ ， ），

∵H为Q1Q2的中点，

∴Hx= ，

HY= ，

∴Q2（x）=2× ﹣3= ，

Q2（Y）=2× ﹣1= ，

∴Q2（ ， ）．

【解析】（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．