Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于点Q。

（1）求证：OP=OQ；

（2）若AD=8cm，AB=6cm，P从点A出发，以1cm/秒的速度向点D运动（不与点D重合），设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求当t为何值时，四边形PBQD是菱形。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】分析：（1）由矩形ABCD中，O为BD的中点，易证得△PDO≌△QBO（ASA），继而证得OP=OQ；（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的长；

（3）由四边形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB+AP=PD，继而可得方程6+t=(8-t)，解此方程即可求得答案

本题解析：．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，∵O为BD的中点，∴DO=BO，

在△PDO和△QBO中，

∴△PDO≌△QBO（ASA），∴OP=OQ；

（2）由题意知：AD=8cm，AP=tcm，∴PD=8﹣t，

（3）∵PB=PD，∴PB2=PD2，即AB2+AP2=PD2，

∴62+t2=(8-t)2，解得 t= ，

∴当t=时，PB=PD．