Question

【题目】如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当t= 秒时，则OP= ， S△ABP=；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQBP=3．

Answer 1

【答案】
（1）1；
（2）

解：当△ABP是直角三角形时，

①若∠A=90°．

∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，

∴∠A≠90°，故此种情形不存在；

②若∠B=90°，如答图2所示：

∵∠BOC=60°，

∴∠BPO=30°，

∴OP=2OB=2，又OP=2t，

∴t=1；

③若∠APB=90°，如答图3所示：

过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OPsin30°=t，PD=OPsin60°= t，

∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．

在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2

∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，

即[（2+t）2+（ t）2]+[（1﹣t）2+（ t）2]=32

解方程得：t= 或t= （负值舍去），

∴t= ．

综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=

（3）

证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，

则有 ，

∴PE= PB．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∵OE∥AP，

∴∠OEB=∠APB，

∴∠OEB=∠B，

∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．

∵AQ∥PB，

∴∠OAQ+∠B=180°，

∴∠OAQ=∠3；

∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，

∴∠1=∠2；

∴△OAQ∽△PEO，

∴ ，即 ，

化简得：AQPB=3

【解析】（1）解：当t= 秒时，OP=2t=2× =1．
如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△POD中，PD=OPsin60°=1× = ，
∴S△ABP= ABPD= ×（2+1）× = ．
（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．