Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在原点。

（1）如图①，点C的坐标为（，），且实数，满足，求C点的坐标及线段0C的长度；

（2）如图②，点F在BC上，AB交x轴于点E，EF，OC的延长线交于点G，EG=OG，求∠EOF的度数；

（3）如图③，将（1）中正方形OABC绕点O顺时针旋转，使OA落在y轴上，E为AB上任意一点，OE的垂直平分线交x轴于点G，交OE于点P,连接EG交BC于点F，求△BEF的周长。

Answer 1

【答案】（1） （2）45°（3）2

【解析】分析：（1）根据非负数的性质和二次根式有意义的条件可得b=3，a=-1，即可的点C的坐标，再由勾股定理求得OC的长；（2）过点O作OH⊥EF于H，证明△OEA≌△OEH和 Rt△OHF≌Rt△OCF，根据全等三角形的性质可得∠3=∠4，∠5=∠6，又因∠3+∠4+∠5+∠6=∠AOC=90°，即可求得∠EOF=45°；（3）过点O作OH⊥EF于H,连OF，证明△OEA≌△OEH和Rt△OHF≌Rt△OCF，根据全等三角形的性质可得AE=EH，OH=OA，HF=FC，即可得△BEF的周长=BE+EH+HF+BF=BE+AE+CF+BF=AB+BC=2.

详解:

（1）∵b-3≥0,3-b≥0，

∴b=3，a=-1，

∴C（-1,3）.

过C作CD垂直y轴于点D，则OD=3，DC=1，

∴OC=；

（2）过点O作OH⊥EF于H，

∵四边形OABC是正方形，

∴OA=OC，∠A=∠7=∠AOC=90°，AB∥CO，

∴∠2=∠COE又EG=OG，

∴∠1=∠COE，

∴∠1=∠2，

又OH⊥EF，

∴∠9=∠8=∠A=90°，

∴在△OEA和△OEH中，

，

∴△OEA≌△OEH（AAS），

∴∠3=∠4，OH=OA；

又OA=OC，

∴OH=OC，

又∠9=∠7=90°，

∴在Rt△OHF和Rt△OCF中，

，

∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL），

∴∠5=∠6，

又∠3+∠4+∠5+∠6=∠AOC=90°，

∴2∠4+2∠5=90°，

即∠4+∠5=45°，

即∠EOF=45°；

（3）过点O作OH⊥EF于H,连OF，

∵四边形OABC是正方形，

∴OA=OC，∠10=∠7=∠AOC=90°，AB∥CO，

∴∠2=∠COE又PG垂直平分OE，

∴EG=OG，

∴∠1=∠COE，

∴∠1=∠2 ，

又OH⊥EF，

∴∠9=∠8=∠10=90°，

∴在△OEA和△OEH中，

∴△OEA≌△OEH（AAS）；

∴AE=EH，OH=OA，

又OA=OC，

∴OH=OC，

又∠9=∠7=90°，

∴在Rt△OHF和Rt△OCF中，

，

∴Rt△OHF≌Rt△OCF（HL）；

∴HF=FC，

∴△BEF的周长=BE+EH+HF+BF

=BE+AE+CF+BF

=AB+BC

=2.