Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x=﹣1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．

（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB=NB的关系，请求出点P的坐标；
（3）是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（1，0），对称轴l为x=﹣1，

∴B（﹣3，0），

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

（2）

解：如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，

设抛物线对称轴l交x轴于点Q．

∵PB⊥NB，∴∠PBN=90°，

∴∠PBM+∠NBQ=90°．

∵∠PMB=90°，

∴∠PBM+∠BPM=90°．

∴∠BPM=∠NBQ．

又∵∠BMP=∠BNQ=90°，PB=NB，

∴△BPM≌△NBQ．

∴PM=BQ．

∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B，且对称轴为x=﹣1，

∴点B的坐标为（﹣3，0），点Q的坐标为（﹣1，0）．∴BQ=2．∴PM=BQ=2．

∵点P是抛物线y=x2+2x﹣3上B、C之间的一个动点，

∴结合图象可知点P的纵坐标为﹣2，

将y=﹣2代入y=x2+2x﹣3，得﹣2=x2+2x﹣3，

解得x1=﹣1﹣ ，x2=﹣1+ （舍去），

∴此时点P的坐标为（﹣1﹣ ，﹣2）

（3）

解：存在．

如图2，连接AC．

可设点P的坐标为（x，y）（﹣3＜x＜0），则y=x2+2x﹣3，

∵点A（1，0），∴OA=1．

∵点C是抛物线与y轴的交点，

∴令x=0，得y=﹣3．即点C（0，﹣3）．

∴OC=3．

由（2）可知S四边形PBAC=S△BPM+S四边形PMOC+S△AOC

= BMPM+ （PM+OC）OM+ OAOC

= （x+3）（﹣y）+ （﹣y+3）（﹣x）+ ×1×3

=﹣ y﹣ x+ ．

将y=x2+2x﹣3代入可得S四边形PBAC=﹣ （x2+2x﹣3）﹣ x+ =﹣ （x+ ）2+ ．

∵﹣ ＜0，﹣3＜x＜0，

∴当x=﹣ 时，S四边形PBAC有最大值 ．此时，y=x2+2x﹣3=﹣ ．

∴当点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）时，四边形PBAC的面积最大，最大值为 ．

【解析】（1）由对称轴可求得B点坐标，结合A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，设抛物线对称轴l交x轴于点Q．可证明△BPM≌△NBQ，则可求得PM=BQ，可求得P点的纵坐标，利用抛物线解析式可求得P点坐标；（3）连接AC，设出P点坐标，则可表示出四边形PBAC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值．