Question

【题目】问题背景：已知在△ABC中，边AB上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求 的值．
（1）初步尝试
如图（1），若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D、E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作DG∥BC交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，
从而求得 的值为 ．

（2）类比探究
如图（2），若△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是 ：1，求 的值．

（3）延伸拓展
如图（3）若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记 =m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示 的值（直接写出果，不必写解答过程）．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）

解：如图（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，

则∠ADG=∠ABC=90°．

∵∠BAC=∠ADH=30°，

∴AH=DH，∠GHD=∠BAC+∠ADH=60°，

∠HDG=∠ADG﹣∠ADH=60°，

∴△DGH为等边三角形．

∴GD=GH=DH=AH，AD=GDtan60°= GD．

由题意可知，AD= CE．

∴GD=CE．

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF．

在△GDF与△CEF中， ，

∴△GDF≌△CEF（AAS），

∴GF=CF．

GH+GF=AH+CF，即HF=AH+CF，

∴HF= AC=2，即 ．

（3）

解： = ．理由如下：

如图（3），过点D作DG∥BC交AC于点G，

易得AD=AG，AD=EC，∠AGD=∠ACB．

在△ABC中，∵∠BAC=∠ADH=36°，AB=AC，

∴AH=DH，∠ACB=∠B=72°，∠GHD=∠HAD+∠ADH=72°．

∴∠AGD=∠GHD=72°．

∵∠GHD=∠B=∠HGD=∠ACB，

∴△ABC∽△DGH．

∴ ，

∴GH=mD H=mA H．

由△ADG∽△ABC可得 ．

∵DG∥BC，

∴ ．

∴FG=mFC．

∴GH+FG=m（AH+FC）=m（AC﹣HF），

即HF=m（AC﹣HF）．

∴ = ．

【解析】解：（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，如图（1）所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=GD，
由题意知：CE=AD，
∴CE=GD
∵DG∥BC，
∴∠GDF=∠CEF，
在△GDF与△CEF中， ，
∴△GDF≌△CEF（AAS），
∴CF=GF，
∵DH⊥AG，
∴AH=GH，
∴AC=AG+CG=2GH+2GF=2（GH+GF），
HF=GH+GF，
∴ =2；
故答案为：2；
（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，由题意知△AGD是等边三角形，所以AD=GD，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三线合一可知：AH=GH，即可得出所求答案；（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，由点D，E的运动速度之比是 ：1可知GD=CE，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，即可得出答案；（3）类似（1）（2）的方法可求出 =m和 =m，然后利用GH+FG=m（AH+FC）=m（AC﹣HF）即可求出 的值．