Question

【题目】（新知理解）

如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．

（1）若AC=3，求AB；

（2）若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），判断AC，BD的等量关系；

（解决问题）

如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．

（3）若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；

（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与以O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数．

Answer 1

【答案】（1）3π+3；（2）AC=BD（3）MN=π﹣1；（4）D点所表示的数是1、π、π++2、π2+2π+1．

【解析】

（1）根据线段之间的关系代入解答即可.
（2）根据线段的大小比较即可.
（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，设M点离O点近，且OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得x，进一步得到线段MN的长度.
（4）根据圆周率伴侣线段的定义可求D点所表示的数.

（1）∵AC=3，BC=πAC，

∴BC=3π，

∴AB=AC+BC=3π+3．

（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，

∴BC=πAC，AD=πBD，

∴设AC=x，BD=y，则BC=πx，AD=πy，

∵AB=AC+BC=AD+BD，

∴x+πx=y+πy，

∴x=y

∴AC=BD

（3）由题意可知，C点表示的数是π+1，

M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM=x，

x+πx=π+1，解得x=1，

∴MN=π+1﹣1﹣1=π﹣1；

（4）设点D表示的数为x，

如图1，若CD=πOD，则π+1﹣x=πx，解得x=1；

如图2，若OD=πCD，则x=π（π+1﹣x），解得x=π；

如图3，若OC=πCD，则π+1=π（x﹣π﹣1），解得x=π++2；

如图4，若CD=πOC，则x﹣（π﹣1）=π（π+1），解得x=π2+2π+1；

综上，D点所表示的数是1、π、π++2、π2+2π+1．