Question

【题目】如图，∠AOB=60°，分别引射线OC、OD、OE，使OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．

（1）若∠BOC=20°，请依题意补全图形，并求∠BOE的度数；

（2）若∠BOC=α（其中α是小于60°的锐角），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）第一种情况：当CO在∠AOB外部时，∠BOE=25°；第二种情况：当CO在∠AOB内部时，∠BOE==35°；（2）①当CO在∠AOB外部时，第一种情况：当CO在∠AOB外部时，∠BOE=30°﹣α；第二种情况：当CO在∠AOB内部时，∠BOE30°+α．

【解析】

（1）分为两种情况：当CO在∠AOB外部时和当CO在∠AOB内部时，求出∠AOC、∠BOD的度数，求出∠AOD，根据角平分线求出∠AOE，即可求出答案；
（2）分为两种情况：当CO在∠AOB外部时和当CO在∠AOB内部时，求出∠AOC、∠BOD的度数，求出∠AOD，根据角平分线求出∠AOE，即可求出答案．

（1）第一种情况：当CO在∠AOB外部时，

∵∠AOB=60°，∠BOC=20°，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+20°=80°，

∵OD平分∠BOC，

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=10°，

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°+10°=70°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠AOD=35°，

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣35°=25°；

第二种情况：当CO在∠AOB内部时，

∵∠AOB=60°，∠BOC=20°，

∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣20°=40°，

∵OD平分∠BOC，

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=10°，

∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣10°=50°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠AOD=25°，

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣25°=35°；

（2）①当CO在∠AOB外部时，第一种情况：当CO在∠AOB外部时，

∵∠AOB=60°，∠BOC=α，

∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+α，

∵OD平分∠BOC，

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=，

∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=60°+，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠AOD=30°+α，

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣（30°+α）=30°﹣α；

第二种情况：当CO在∠AOB内部时，

∵∠AOB=60°，∠BOC=α，

∴∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=60°﹣α，

∵OD平分∠BOC，

∴∠COD=∠BOD=∠BOC=，

∴∠AOD=∠AOB﹣∠BOD=60°﹣，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠AOD=30°﹣α，

∴∠BOE=∠AOB﹣∠AOE=60°﹣（30°﹣α）=30°+α．