Question

【题目】如图，且点在线段上，连接．

（1）如图1，若求线段的长；

（2）如图1，若求证：

（3）如图2，在第(2)问的条件下，若点在的延长线上时，连接的面积为的面积为的面积为．直接写出之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）线段AB的长为6；（2）见解析；（3）c+a=2b．

【解析】

（1）通过“SAS”可证△ACD≌△BCE，由此可得BE＝AD＝4，结合AE＝2即可得解；

（2）在AD上取一点H，使得AH＝AE，先证△ACH≌△ACE，可得CH＝CE，进而可证CH＝CD，利用三线合一可得DH＝2DF，最后根据AD＝DH＋AH等量代换即可得证；

（3）过点C作CG⊥AB于点G，同理可证△ACD≌△BCE，进而得BE＝AD，∠CAD＝∠B＝45°，∠D＝∠CEB，证得CF∥AB便可证得S△AEC＝S△AEF＝a，再证△CFD≌△CGE可得S△CGE＝S△CFD＝b，

根据三线合一可得AG＝BG便可得S△BCG＝S△BCG，进而得解．

（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACE＋∠ECB＝∠ACE＋∠DCA，

∴∠ECB＝∠DCA，

在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD，

∵AD＝4，

∴BE＝4，

又∵AE＝2，

∴AB＝AE＋BE＝6，

∴线段AB的长为6；

（2）证明：如图，在AD上取一点H，使得AH＝AE，连接CH，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠B＝45°，BE＝AD，

在△ACH与△ACE中，

∴△ACH≌△ACE（SAS），

∴CH＝CE，

∵CD＝CE，

∴CH＝CD，

又∵CF⊥AD，

∴DF＝FH，

∴DH＝2DF，

∵AD＝DH＋AH，

∴BE＝2DF＋AE；

（3）解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACE＋∠ACB＝∠ACE＋∠DCE，

∴∠ECB＝∠DCA，

在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE＝AD，∠CAD＝∠B＝45°，∠D＝∠CEB，

∴∠BAD＝∠CAD＋∠CAB＝90°，

又∵CF⊥AD，

∴CF∥AB，

∴S△AEC＝S△AEF＝a，

∵△ACD≌△BCE，

∴S△ACD＝S△BCE，

∴CF⊥AD，CG⊥AB，

∴∠CFD＝∠CGE＝90°，

在△CFD与△CGE中，

∴△CFD≌△CGE（AAS），

∴S△CGE＝S△CFD＝b，

∴S△CGA＝S△CGE－S△AEC＝b－a，

∵S△BCE＝c，

∴S△BCG＝S△BCE－S△CGE＝c－b，

∵AC＝BC，CG⊥AB，

∴AG＝BG，

∴S△BCG＝S△BCG，

∴c－b＝b－a，

即：c＋a＝2b．