Question

【题目】尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”.

图1

图2

备用图

（1）如图1，在线段外有一点，现在利用尺规作图验证“两点之间线段最短”，.请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤.

第一步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则_____________；

第二步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则_____________；

则____________________________________________

故：.

（2）如图2，在直线上，从左往右依次有四个点，，，，且，.现以为圆心，半径长为作圆，与直线两个交点中右侧交点记为点.再以为圆心；相同半径长作圆，与直线两个交点中左侧交点记为点.若，，三点中，有一点分另外两点所连线段之比为，求半径的长.

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；AM；BN；AM ； BN ；MN（2）6、10、、34.

【解析】

（1）根据尺规作图的步骤按步骤进行操作，根据线段的数量关系进行判断即可.

（2）根据题目中的线段间的关系，分类进行讨论，分别为当P点在Q、F之间时，当Q点在P、F之间时，当F点在P、Q之间时，分别根据线段间的数量关系求解即可.

解：如图：

（1）第一步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则AM；

第二步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则BN；

则AMBNMN

故：.

（2）

当P点在QF之间，①PF=2QP时，

∵=4，

∴,

∵OP=r,

∴，

同理可得OQ=8-r

∴QP=

∵,

∴PF=8-r+6=14-r，

2（2r-8）=14-r,

解得：r=6.

②PQ=2PF

∵,

∴OF=14，

∵OP=r，

∴PF=14-r,

∵,

∴OQ=r-8

∴，

同理

∴QP=8+2×（8-r）=24-2r

∴24-2r=14-r

解得r=10.

当Q点在中间时，即QF=2PQ

∵=4，

∴,

∵,

∴PQ=8-2r，

QF=6+r

6+r=8-2r

∴r=.

当F点在Q、P之间，QF=2FP时

∵=4，

∴,

∵,

∴FP=r-OF=r-14，

QF=r+6，

∴r+6=2（r-14），

解得r=34

故答案是：6、10、、34.