Question

【题目】矩形ABCD的对角线相交于点O，AC= ，CD=1，

（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AD于点E，连结CE；
（2）判断线段BE与CE的关系，并证明你的判断．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示

（2）解：BE⊥CE且BE=CE，理由如下：

∵矩形ABCD中，

∴∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD，AD∥BC．

∴在Rt△ADH中，AC= ，CD=1，

∴ ，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴AB=AE，

∵AB=CD，

∴AE=AB=1，DE=AD﹣AE=1，

∴AE=DE，

在△ABE与△DCE中， ，

∴△DAB≌△DEB（SAS），

∴BE=CE且∠CED=∠AEB=45°．

∴∠BED=180°﹣∠AEB﹣∠CED=90°

∴BE⊥CE且BE=CE．

【解析】(1)根据全等三角形的判定方法作出∠ABC的平分线；（2）根据矩形的性质得到对边平行且相等，四角都等于90°，根据勾股定理求出AD的长，得出△DAB≌△DEB，根据三角形内角和定理，求出∠BED的度数，得到BE⊥CE且BE=CE的结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．