Question

【题目】如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在 上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．
发现： 的长与 的长之和为定值l，求l：

Answer 1

【答案】解：如图1，连接OP、OQ，
∵AB=4，
∴OP=OQ=2，
∵PQ=2，
∴△OPQ是等边三角形，
∴∠POQ=60°，
∴ = = ，
又∵半圆O的长为： π×4=2π，
∴ + =2π﹣ π= ，
∴l= π；
思考：点M与AB的最大距离为 ， 此时点P，A间的距离为 ；
点M与AB的最小距离为 ， 此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为 ；
|2|| ﹣
探究：当半圆M与AB相切时，求 的长．
（注：结果保留π，cos35°= ，cos55°= ）
解：当半圆M与AB相切时，
此时，MC=1，
如图4，当点C在线段OA上时，

在Rt△OCM中，
由勾股定理可求得：OC= ，
∴cos∠AOM= = ，
∴∠AOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=∠AOM﹣∠POM=5°，
∴ = = ，
当点C在线段OB上时，

此时，∠BOM=35°，
∵∠POM=30°，
∴∠AOP=180°﹣∠POM﹣∠BOM=115°
∴ = = ，
综上所述，当半圆M与AB相切时， 的长为 或 ．
【解析】解：发现： 思考：如图2，过点M作MC⊥AB于点C，
连接OM，

∵OP=2，PM=1，
∴由勾股定理可知：OM= ，
当C与O重合时，
M与AB的距离最大，最大值为 ，
连接AP，
此时，OM⊥AB，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OP，
∴△AOP是等边三角形，
∴AP=2，
如图3，当Q与B重合时，
连接DM，

∵∠MOQ=30°，
∴MC= OM= ，
此时，M与AB的距离最小，最小值为 ，
设此时半圆M与AB交于点D，
DM=MB=1，
∵∠ABP=60°，
∴△DMB是等边三角形，
∴∠DMB=60°，
∴扇形DMB的面积为： = ，
△DMB的面积为： MCDB= × ×1= ，
∴半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为： ﹣ ；