Question

【题目】如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，A点坐标为（﹣1，0）．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0， ）；（2）y=﹣x2+x+；（3）

【解析】试题分析：（1）分别令x,y得零，求坐标.(2)利用待定系数法求二次函数解析式.(3)建立△DMH二次函数关系，求最值即可.

试题解析：

（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，

∴B（3，0），C（0， ）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，

∴,

解得．

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+

（3）∵B（3，0），C（0， ）；

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO=，

∴∠BCO=60°，

∵MD∥y轴，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴当DM有最大值时，其周长有最大值，

∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，

∴可设M（t，﹣ t2+t+），则D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，DM有最大值，最大值为，

此时DM=，

即△DMH周长的最大值为．