Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，BC=5，AB=3，分别经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，设GH的中点为O， 过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，

在Rt△ABC中，BC=5，AB=3，
∴AC= = ，
由面积法可知，BNAC=ABBC，
解得BN= ，
∵∠B=90°，
∴GH为⊙O的直径，点O为过B点的圆的圆心，
∵⊙O与AC相切，
∴OM为⊙O的半径，
∴BO+OM为直径，
又∵BO+OM≥BN，
∴当BN为直径时，直径的值最小，
此时，直径GH=BN= ，
同理可得：EF的最小值为 ，
∴EF+GH的最小值是 = ．
所以答案是： ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解矩形的性质的相关知识，掌握矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．