Question

【题目】已知：如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；
（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于点M、N（M点在N点左侧），
①若以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径；
②若Q（m，4）是直线MN上一动点，当以点C、B、Q为顶点的三角形的面积等于6时，请直接写出符合条件的m值，为 ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，

∴点C的坐标为（0，﹣3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC=3，

∴OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），

将点A和点B的坐标代入得： ，解得 ，

∴抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3

（2）

解：∵∠PAB=∠CAB，

∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，

∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），

∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，

∴点P的坐标为（6，21）

（3）3或11
【解析】解：（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
∴R=（ R+1﹣1）2﹣4，解得：R= （负值舍去），
∴R= ．
当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
∴N（r+1，﹣r），
∴﹣r=（r+1﹣1）2﹣4，解得：r= （负值舍去），
∴r= ，
∴圆的半径为： 或 ．
②设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得： ，
解得k=1，b=﹣3，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
勾股定理可知：BC= =3 ．
∵△QCB的面积为6，
∴BC边上的高线的长度= =2 ．
如图1所示：即直线BC与y=4的交点为D，当点Q在点D的左侧时，过点Q作QE⊥BC，则EQ=2

将y=0代入得直线BC的解析式得：x﹣3=4，解得x=7，
∴点D的坐标为（7，4）．
∵QD∥x轴，
∴∠QDC=∠OBC=45°．
∴QD= QE= ×2 =4．
∴Q（3，4）．
∴m=3．
如图1所示，当Q位于点D的右侧时（Q′处），过点Q′作Q′F⊥BC，垂足为F．则FQ=2 ，
同理可知：DQ′=4．
∴点Q′的坐标为（11，4）．
∴m=11．
综上所述，m的值为3或11．
所以答案是：3或11．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的概念(一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数)．