Question

【题目】在△ABC中，∠ABC=45，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：

①∠FCD=45

②AE=EC

③S△ABF：S△AFC=AD：FD

④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．

正确结论的序号是___________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根据题意利用全等三角形的性质和三角形面积公式和三角形公共边以及线段垂直平分线的性质进行综合分析判断即可.

解：∵∠ABC=45°，

∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，

而∠ADB=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴FD=CD，

∴∠FCD=∠CFD=45°，

∴①正确；

若AE=EC，则∵BE⊥AC，

∴BA=BC，显然不可能，故②错误；

∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，

∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，

∴S△ABF：S△AFC =BD：CD，

∵AD=BD ，FD=CD，

∴S△ABF：S△AFC=AD：FD，

∴③正确；

若BF=2EC，根据①得BF=AC，

∴AC=2EC，

即E为AC的中点，

∴BE为线段AC的垂直平分线，

∴AF=CF，BA=BC，

∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，

即△FDC周长等于AB的长，

∴④正确．

故答案为：①③④.