Question

【题目】（问题情境）（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ；

（类比探究）

（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

（拓展提升）

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 ．

Answer 1

【答案】（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．

【解析】

（1）通过证明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．

（2）通过证明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延长BE、GD相交于点H．因为矩形ECGF，所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF

+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，所以∠H=∠F=90°，所以DG⊥BE．

（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．首先证明点G的运动轨迹是线段GM，将2BG+BE的最小值转化为求2（BG+DG）的最小值．

（1）DG=BE

理由：

∵正方形ABCD，

∴CD=CB，∠BCD=90°

∵正方形ECGF，

∴CG=CE，∠ECG=90°

∴∠ECG=∠BCD=90°

∴∠DCG=∠BCE

在△DCG和△BCE中

∴△DCG≌△BCE（SAS）

∴DG=BE

（2），DG⊥BE．

理由如下：延长BE、GD相交于点H．

∵矩形ECGF、矩形ABCD，

∴∠ECG=∠BCD=90°，

∴∠DCG=∠BCE，

∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，

∴CD：CB=CG：CE，

∵∠DCG=∠BCE，

∴△DCG∽△BCE，

∴，∠BEC=∠DGC，

∴

∵矩形ECGF

∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°

∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，

∴∠H=∠F=90°

∴DG⊥BE

（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延长线于M．

易证△ECN∽△CGM，

∴，

∵EN=AB=2，

∴CM=1，

∴点G的运动轨迹是直线MG，

作点D关于直线GM的对称点G′，连接BG′交GM于G，此时BG+GD的值最小，最小值=BG′

由（2）知，

∴BE=2DG

∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）

∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．

∵BG′=，

∴2BG+BE的最小值为4

故答案为4．