Question

【题目】如图1，抛物线l1；y=ax2+bx+c（a＜0）经过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），点A为顶点，且直线OA的解析式为y=x．

（1）如图1，求抛物线l1的解析式；
（2）如图2，将抛物线l1绕原点O旋转180°，得到抛物线l2 ， l2与x轴交于点B′，顶点为A′，点P为抛物线l1上一动点，连接PO交l2于点Q，连接PA、PA′、QA′、QA．
请求：平行四边形PAQA′的面积S与P点横坐标x（2＜x≤4）之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，如图11﹣3，连接BA′，抛物线l1或l2上是否存在一点H，使得HB=HA′？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

过A作AD⊥OB于D点，

∵抛物线l1：y=ax2+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0）．

顶点为A．OD= OB=2．

又∵直线OA的解析式为y=x，

∴AD=OD=2．

∴点A的坐标为（2，2），

将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c（a＜0）中，

，

解得 ，

∴抛物线C的解析式为y=﹣ x2+2x

（2）

解：如图2，

，

∵AO=A′O，PO=OQ，

∴四边形PAQA′是平行四边形，

∴S平行四边形PAQA′=4S△AOP．

过点P作PE⊥y轴于E交AO于F．

设P（x，﹣ x2+2x），则F（﹣ x2+2x，﹣ x2+2x），

若P点在抛物线AB段（2＜x≤4）时，S△AOP= |xP﹣xF|×|yA|= [x﹣（﹣ x2+2x）]×2= x2﹣x，

则S平行四边形PAQA′=4S△AOP=2x2﹣4x（2＜x≤4）

（3）

解：如图3，

，

作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由旋转的性质，得l2的顶点坐标A′（﹣2，﹣2），

故A′B的中点M的坐标（1，﹣1）．

作MT⊥x轴于T，在Rt△NMB中，MT⊥NB于T，

∠NMT+∠BMT=90°，∠TBM+∠BMT=90°，

∴∠NMT=∠TBM，

又∵∠NTM=∠BTM=90°，

∴△MTN∽△BTM，

= ，

MT2=TNTB，即12=（1﹣n）（4﹣1）．

∴n= ，即N点的坐标为（ ，0）．

直线l过点M（1，﹣1）、N（ ，0），

∴直线l的解析式为y=﹣3x﹣2．

解 ，得x=5 ．

在抛物线l1上存在两点使得HB=HA′，其坐标分别为（5+ ，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ）．

解 得x=﹣5 ，在抛物线l2上存在两点使得HB=HA′，其坐标分别为（﹣5+ ，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）；

综上所述：（5+ ，﹣13﹣3 ），（5﹣ ，﹣13﹣3 ），（﹣5+ ，17﹣3 ），（﹣5﹣ ，17+3 ）

【解析】（1）根据O、B关于对称轴对称，可得OD的长，根据A在直线y=x上，可得A点坐标，根据待定系数法，可得答案；（2）根据平行四边形的性质，可得S平行四边形PAQA′=4S△AOP ， 根据平行于x轴的直线上两点间的距离是较大的横坐标减较小的横坐标，可得PF的长，根据三角形的面积，可得答案；（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得H在线段A′B的垂直平分线上，根据解方程组，可得H点的坐标．