Question

【题目】如图1，在直角坐标系xoy中，直线l与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0， ）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求证：y轴是⊙G的切线；
（2）请求⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？

Answer 1

【答案】
（1）解：连接GD，

∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，

∴∠GAD=∠DAO，

∵GD=GA，

∴∠GDA=∠GAD，

∴∠GDA=∠DAO，

∴GD∥OA，

∴∠BDG=∠BOA=90°，

∵GD为半径，

∴y轴是⊙G的切线；

（2）解：∵A（4，0），B（0， ），

∴OA=4，OB= ，

在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB= ，

设半径GD=r，则BG= ﹣r，

∵GD∥OA，

∴△BDG∽△BOA，

∴ = ，

∴ r=4（ ﹣r），

∴r= ；

∴C的坐标为（1，4）

（3）解：过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，

∵AC是直径，

∴AC=2× =5

∴∠AEC=∠AFC=90°

∵∠FEA=45°

∴∠FCA=45°

∴在Rt△AEH中，

由勾股定理可知：AF=CF= ，

设OE=a

∴AE=4﹣a

∵CE∥OB

∴△ACE∽△ABO

∴ =

∴CE=

∵CE2+AE2=AC2，

∴ （4﹣a）2+（4﹣a）2=25

∴a=1或a=7（不合题意，舍去）

∴AE=3

∴在Rt△AEH中，

由勾股定理可得，AH=EH= ，

∴在Rt△AEH中，

由勾股定理可知：FH2=AF2﹣AH2= ﹣ =8，

∴FH=2 ，

∴EF=EH+FH= ．

【解析】（1）要证明y轴是⊙G的切线，只需要连接GD后证明GD⊥OB即可．（2）由（1）可知GD∥OA，则△BDG∽△BOA，设半径为r后，利用对应边的比相等列方程即可求出半径r的值．（3）由于∠FEA=45°，所以可以连接CE、CF构造直角三角形．由于要求的EF是弦，所以过点A作AH⊥EF，然后利用垂径定理即可求出EF的长度．