Question

【题目】数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.

【解析】

（1）在上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以．

（2）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知利用判定，因为全等三角形的对应边相等，所以．

解：（1）正确．

证明：在上取一点，使，连接．

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，

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是外角平分线，

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，，

，

，

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（2）正确．

证明：如图示，在的延长线上取一点，使，连接．

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，

平分，

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，

四边形是正方形，

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，

即，

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，

．