Question

【题目】按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.

如图，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求证：BC+DC＝AC.

思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是＿三角形.同理由已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝＿，且CE＝CD，可知＿；

（2）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＝＿；

（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿.请写出完整的证明过程.

Answer 1

【答案】（1）等边，60°，△DCE是等边三角形；（2）AC，BE；（3）△BED≌△ACD，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接BD，根据等边三角形判定推出即可；求出∠DCE=60°，得到等边三角形DCE即可；
（3）根据等边三角形性质推出AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，推出∠ADC=∠BDE，证△ADC≌△BDE即可；
（4）由（3）即可得出答案．

试题解析：（1）（1）解：连接BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，

∵∠BCD=120°，
∴∠DCE=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∵CE=CD，
∴△DCE是等边三角形，
故答案为：等边，60°，△DCE是等边三角形．
（2）证明：∵等边三角形ABD和DCE，
∴AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°，
∴∠ADB+∠BDC=∠CDE+∠BDC，
即∠ADC=∠BDE，
在△ADC和△BDE中，

∴△ADC≌△BDE，
∴AC=BE=BC+CE，
故答案为：BE，AC．

（3）△BED≌△ACD

证明过程如下：连接AC，BD.

因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形.所以AD＝BD，∠ADB＝60°.

因为∠BCD＝120°，所以∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°.

因为CE＝CD，所以△DCE是等边三角形.所以CD＝DE，∠CDE＝60°.

所以∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE.

在△ADC和△BDE中，AD＝BD，∠ADC＝∠BDE，DC＝DE，所以△ADC≌△BDE.所以AC＝BE＝BC+CE=BC+DC.