Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，BD是△ABC的角平分线，点O在BD上，分别过点O作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足为E，F，且OE=OF.

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OE＝2.

【解析】试题分析：（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；
（2）连接OC，根利用勾股定理求出AB的长，据三角形的面积公式即可得出结论．

试题解析：（1）证明：过点O作OM⊥AB于点M.

因为BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E，所以OM＝OE.

又OE=OF，所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分线上.

（2）连接OC.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝13.

因为S△ABO+S△BCO+S△ACO =S△ABC，所以×13·OM+×12·OE+×5·OF=×5×12.

由（1）知OM=OE=OF，所以15OE=30，解得OE＝2.