Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论： ①△AED≌△AEF；
②△ABE∽△ACD；
③BE+DC=DE；
④BE2+DC2=DE2 ．
其中一定正确的是（ ）

A.②④
B.①③
C.①④
D.②③

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，
∴AD=AF，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°﹣∠DAE=45°，
∴∠DAE=∠FAE，
在△AED与△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），故①正确；
∵∠BAE与∠CAD的大小无法确定，
∴△ABE与△ACD是否相似无法确定，故②错误；
同理，DE与BE+DC的大小也无法确定，故③错误；
∵△AED≌△AEF，
∴ED=FE，∠ACB=∠ABF，
在Rt△ABC中，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°，
∴BE2+BF2=FE2 ， 即BE2+DC2=DE2 ， 故④正确．
故选C．
【考点精析】通过灵活运用相似三角形的判定与性质和旋转的性质，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．