Question

【题目】在四边形中，，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随着点的位置变化而变化．

（1）如图1，当点在四边形内部或边上时，连接，与的数量关系是________，与的位置关系是_______；

（2）如图2，当点在四边形外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；

（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，，则线段______，________．

Answer 1

【答案】（1）PB=EC，CE⊥AD；（2）结论仍然成立，理由见解析；（3）DP= 10，EP=

【解析】

（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，延长CE交AD于H，根据“SAS”证明△BAP≌△CAE即可解决问题；

（2）结论仍然成立．连接AC交BD于O，设CE交AD于H．证明方法与（1）类似；

（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题；

解：（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．

理由：连接AC，延长CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∵∠BAC=∠PAE，

∴∠BAP=∠CAE，

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

故答案为PB=EC，CE⊥AD；

（2）结论仍然成立．

理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∴∠BAP=∠CAE．

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP=CE，∠PBA=∠ACE=30°，

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

（3）选图3，连接AC交BD于O，连接CE交AD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∴∠BAP=∠CAE．

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

在菱形ABCD中，AD∥BC，

∴EC⊥BC，

∵BC=AB=2，BE=，

在Rt△BCE中，EC==7，

∴BP=CE=7，

∵AC与BD是菱形的对角线，

∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，

∴OA=AB=，

∴BO=OD==3，

∴BD=2BO=6，

∴DP=BP-BD=7-6=1，

∴OP=OD+DP=4，

在Rt△AOP中，AP=，

∴EP=AP=．