Question

【题目】在△ABC中，AB＝4 ，BC＝6，∠B＝45°，D为BC边上一动点，将△ABC沿着过点D的直线折叠使点C落在AB边上，则CD的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵D为BC边上一动点，将△ABC沿着过点D的直线折叠使点C落在AB边上，根据轴对称的性质，则点C与点C'应在以点D为圆心，DC为半径的圆上，
∴CD的最小值的情形，是⊙D与AB相切时，CD的最大值的情形，是点C'与点A重合时.
①当⊙D与AB相切时，如图1：

图1
过点D作DC'AB于点C'，设CD=x，则DC'=CD=x，
∵∠B＝45°，∴BD=x，
∴x+x=6，
解得：x=.
②当点C'与点A重合时，如图2：

连接DA，过点A作AEBC于点E，设DC=DA=x，
∵∠B＝45°，∴AE=BE=4，∴EC=6-BE=6-4=2，
∴DE=x-2，
在RtADE 中，根据勾股定理得：
x2=（x-2）2+42 ，
解得：x=5.
综合①②，可知.
故答案是：.
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和轴对称的性质，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上才能得出正确答案．