Question

【题目】联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD= AB，求∠APB的度数．
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．

Answer 1

【答案】应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC， ∵CD为等边三角形的高，
∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，
∴PD= DB= AB，
与已知PD= AB矛盾，∴PB≠PC，
②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，
③若PA=PB，由PD= AB，得PD=BD，
∴∠APD=45°，
故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，
∴AC= = =4，
① 若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4﹣x）2 ，
∴x= ，即PA= ，
②若PA=PC，则PA=2，
③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．
故PA=2或 ．

【解析】应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．