Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．

（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：MN是⊙O切线．

理由：连接OC．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，

∴∠BCM=∠BOC，

∵∠B=90°，

∴∠BOC+∠BCO=90°，

∴∠BCM+∠BCO=90°，

∴OC⊥MN，

∴MN是⊙O切线．

（2）解：由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，

∴∠AOC=120°，

在Rt△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，

∴BO= OC=2，BC=2

∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC= ﹣ = ﹣4 ．

【解析】（1）要证直线MN与⊙O的切线，连接OC．易证∠BOC=2∠A，由∠BCM=2∠A，得出∠BOC=∠BCM，在Rt△OBC中，根据直角三角形两锐角互余，可推出OC⊥MN，即可得出结论。
（2）先求出∠AOC的度数，在Rt△BCO中，利用解直角三角形求出BO、BC的长，根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC，即可求出阴影部分的面积。