Question

【题目】如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．

（1）分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是　 　；

（2）如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y＝x有公共点，求t的取值范围；

（3）点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）⊙B，⊙C；（2）1≤t≤2+；（3）60°≤∠EOM＜90°

【解析】

（1）画出图象，根据角内相切圆的定义判断即可．

（2）求出两种特殊位置时t的值即可判断．

（3）如图3中，连接OP，OM．首先求出∠POE，根据图象可知当射线OM在∠POF的内部（包括射线OP，不包括射线OF）时，存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EMO的角内相切圆．

（1）如图1中，观察图象可知，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆．

故答案为：⊙B，⊙C．

（2）解：如图，

当⊙D1与y轴相切时，设切点为M，则MD1＝1，可得t1＝1．

当⊙D2与y＝x相切时，设切点为H，连接HD2，设直线y＝x与直线y＝2交于点K，则△HKD2，△MOK都是等腰直角三角形，

∵KH＝HD2＝1，

∴KD2＝，

∵OM＝MK＝2，

∴MD2＝MK+KD2＝2+

可得t2＝2+，

观察图象可知，满足条件的t的取值范围是1≤t≤2+．

（3）如图3中，连接OP，OM．

∵P（2，2），

∴tan∠POE＝＝，

∴∠POE＝60°，

观察图象可知当射线OM在∠POF的内部（包括射线OP，不包括射线OF）时，存在一个半径为1且过点P（2，2）的圆为∠EMO的角内相切圆，

∴60°≤∠EOM＜90°．