Question

【题目】问题背景：
如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

（1）小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
（2）探索延伸：
如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
（3）实际应用：
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当∠EOF=70°时，两舰艇之间的距离是海里．

（4）能力提高：
如图④，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为 ．

Answer 1

【答案】
（1）EF=BE+DF
（2）

解：结论EF=BE+DF仍然成立；

理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，

在△ABE和△ADG中， ，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF= ∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中， ，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF；

（3）280
（4）
【解析】解：（1.）EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中， ，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中， ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
所以答案是 EF=BE+DF．
（3.）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，

∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∠EOF=70°，
∴∠EOF= ∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=2×（60+80）=280海里．
答：此时两舰艇之间的距离是280海里；
所以答案是：280；
（4.）如图4，

将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACD，
∴△ABM≌△ACD，
∴∠AMB=∠ADC，∠BAM=∠CAM，AM=AD，BM=CD=1，
∵∠AMB+∠AMC=90°，
∴∠AMC+∠ADC=180°，
∴∠MAD+∠MCD=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠MAD=∠MAC+∠CAD=∠MAC+∠BAM=90°，
∴∠MCD=90°，
在Rt△NCD中，CN=3，CD=1，
根据勾股定理得，ND= ，
∵∠MAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN=45°，
∵AM=AD，AN=AN，
∴△MAN≌△DAN，
∴MN=DN= ，
所以答案是 ．
【考点精析】认真审题，首先需要了解全等三角形的性质(全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等)．