Question

【题目】如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于M，则EM的长为.

Answer 1

【答案】
【解析】过P作PF∥BC交AC于F，如图，

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFM和△QCM中
，
∴△PFM≌△QCM，
∴FM=CM，
∵AE=EF，
∴EF+FM=AE+CM，
∴AE+CM=ME= AC，
∵AC=3，
∴ME= .
故答案为： .
过P作PF∥BC交AC于F，易证△APF是等边三角形，得出AP=PF=AF，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=EF，再根据已知证明PF=CQ，然后证明△PFM≌△QCM，得出FM=CM，根据EF+FM=AE+CM=AC，由AC=3，就可求得ME的长。