Question

【题目】如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

（3）连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x；（2）见解析；（3）不存在，见解析

【解析】解：（1）由题意可设抛物线的解析式为

y=a（x﹣2）2+1

∵抛物线过原点，

∴0=a（0﹣2）2+1，

∴．

抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，

即y=﹣x2+x

（2）如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD=OB，

由0=﹣（x﹣2）2+1得x1=0，x2=4，

∴B（4，0），OB=4．

由于对称轴x=2

∴D点的横坐标为6．

将x=6代入y=﹣（x﹣2）2+1，得y=﹣3，

∴D（6，﹣3）；

根据抛物线的对称性可知，

在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为（﹣2，﹣3），

当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为（2，1）

（3）不存在．

如图2，由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．

若△BOP与△AOB相似，必须有∠POB=∠BOA=∠BPO

设OP交抛物线的对称轴于A′点，显然A′（2，﹣1）

∴直线OP的解析式为y=﹣x

由﹣x=﹣x2+x，得x1=0，x2=6．

∴P（6，﹣3）

过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，

∴PB=≠4．

∴PB≠OB，

∴∠BOP≠∠BPO，

∴△PBO与△BAO不相似，

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．

所以在该抛物线上不存在点P，使得△BOP与△AOB相似．