Question

【题目】如图,平面直角坐标系中,点A(6 ,0),点B(0,18),∠BAO=60°，射线AC平分∠BAO交y轴正半轴于点C.

(1)求点C的坐标；

(2)点N从点A以每秒2个单位的速度沿线段AC向终点C运动,过点N作x轴的垂线,分别交线段AB于点M,交线段AO于点P,设线段MP的长度为d,点P的运动时间为t,请求出d与t的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，将△ABO沿y轴翻折，点A落在x轴正半轴上的点E，线段BE交射线AC于点D，点Q为线段OB上的动点，当△AMN与△OQD全等时，求出t值并直接写出此时点Q的坐标.

Answer 1

【答案】(1)(0,6)；(2 )d=3t(0<t6)；S=4t-32(t>8)；(3) t=3,此时Q(0,6)；t=3,此时Q(0,18)

【解析】

（1）首先证明∠BAO=60°，在Rt△ACO中，求出OC的长即可解决问题；

（2）理由待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点P的坐标即可解决问题；

（3）由（1）可知，∠NAM=∠NMA=30°，推出△AMN是等腰三角形，由当△AMN与△OQD全等，∠DOC=30°，①当∠QDO=30°时，△AMN与△OQD全等，

此时点Q与C重合，当AN=OC时，△ANM≌△OQC，②当∠OQD=30°，△AMN与△OQD全等，此时点Q与B重合，OD=AN=6，分别求出t的值即可；

(1)在Rt△AOB中,∵OA=6，OB=18，

∴tan∠BAO= =,

∴∠BAO=60°，

∵AC平分∠BAO，

∴∠CAO= ∠BAO=30°，

∴OC=OAtan30°=6 =6，

∴C(0,6).

(2)如图1中，设直线AB的解析式为y=kx+b，

则有 ，

∴ ，

∴直线AB的解析式为y=x+18，

∵AN=2t，

∴AM=t，

∴OM=6t，

∴M(t6,0)，

∴点P的纵坐标为y= (t6)+18=3t，

∴P(t6,3t)，

∴d=3t(0<t6).

(3)如图2中，

由(1)可知,∠NAM=∠NMA=30°，

∴△AMN是等腰三角形，

∵当△AMN与△OQD全等,∠DOC=30°，

∴①当∠QDO=30°时，△AMN与△OQD全等，

此时点Q 与C重合,当AN=OC时,△ANM≌△OQC，

∴2t=6，

t=3,此时Q(0,6).

②当∠OQ D=30°，△AMN与△OQD全等,此时点Q与B重合,OD=AN=6，

∴2t=6，

∴t=3,此时Q(0,18).