Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM．

（1）求证：AM与⊙O相切；
（2）若AM=3DM，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OM．

在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°

∴∠BAC=∠DCA，

∵OM=OC，

∴∠OMC=∠OCM．

∵∠BAC=∠DAM，

∴∠DAM=∠OMC．

∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．

在△DAM中，∠D=90°，

∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．

∴∠OMC+∠DMA=90°．

∴∠AMO=90°，

∴AM⊥MO．

点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，

∴AM与⊙O相切．

（2）在△BAC与△DAM中，

∵∠BAC=∠DAM，∠B=∠D，

∴△BAC∽△DAM，

∴ ，

∴ ．

∵AM=3DM，

∴AC=3BC．BC=2，

∴AC=6，

在△DAM中，DM2+AD2=AM2

即DM2+22=（3DM）2

解得DM= ．AM= ．

在△AMO中，AM2+MO2=AO2

即（ ）2+MO2=（6﹣MO）2．

解得MO= ．

【解析】（1）根据矩形的性质和等边对等角得到AM⊥MO，由点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，得到AM与⊙O相切；（2）根据两角相等两三角形相似，得到△BAC∽△DAM，得到比例，求出AC的值，在△DAM中，根据勾股定理求出MO的值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．