Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点、，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕与轴交于点．

（1）求线段的长度；

（2）求直线所对应的函数表达式；

（3）若点在线段上，在线段上是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）15；（2）；（3）

【解析】

（1）根据勾股定理即可解决问题；

（2）设AD=x，则OD=OA=AD=12-x，根据轴对称的性质，DE=x，BE=AB=9，又OB=15，可得OE=OB-BE=15-9=6，在Rt△OED中，根据OE2+DE2=OD2，构建方程即可解决问题；

（3）过点E作EP∥BD交BC于点P，过点P作PQ∥DE交BD于点Q，则四边形DEPQ是平行四边形，再过点E作EF⊥OD于点F，想办法求出最小PE的解析式即可解决问题.

解：（1）由题知：.

（2）设，则，

根据轴对称的性质，，，

又，

∴，

在中，，

即，

解得 ，

∴，

∴点，

设直线所对应的函数表达式为：，

则， 解得 ，

∴直线所对应的函数表达式为：，

（3）存在，过点作EP∥DB交于点，过点作PQ∥ED交于点，则四边形是平行四边形．再过点作于点，

由，

得，即点的纵坐标为，

又点在直线：上，

∴， 解得 ， ∴

由于EP∥DB，所以可设直线：，

∵在直线上

∴， 解得 ，

∴直线：，

令，则，

解得，

∴.