Question

【题目】阅读下列材料，并解决后面的问题.

材料：一般地，个相同的因数相乘：个记为，如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）.

一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为（即）.如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）.

问题：（1）计算以下各对数的值：________，________，________.

（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？、、之间又满足怎样的关系式？______________________________________________________________________________

（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？

____________________（且，，）

（4）根据幂的运算法则：以及对数的含义证明（3）中结论.

Answer 1

【答案】（1）2，4，6；（2）；（3）;（4）详见解析

【解析】

（1）根据题意可以得到题目中所求式子的值；

（2）根据题目中的式子可以求得它们之间的关系；

（3）根据题意可以猜想出相应的结论；

（4）根据同底数幂的乘法和对数的性质可以解答本题．

（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6，

故答案为：2，4，6；

（2）由题意可得，4×16＝64，log24、log216、log264之间满足的关系式是log24＋log216＝log264；

（3）猜想的结论是：logaM＋logaN＝logaMN，

故答案为：logaMN；

（4）证明：设logaM＝m，logaN＝n，

∴M＝am，N＝an，

∴MN＝am＋n，

∴logaM＋logaN＝logaMN．