Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为12，E是BC中点，将正方形边CD沿DE折叠到DF，将AD折叠，使AD与DF重合，折痕交AB于G，连接BF，CF，则下列结论：①G、F、E三点共线；②BG=8；③△BEF∽△CDF；④S△BFG=.其中正确的有( )

A. ①② B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】分析：根据已知条件易证∠GFD+∠DFE=180°，即可得点G、F、E共线，①正确；设BG=x，则GF=AG=12-x，Rt△BEG中根据勾股定理求得x的值，即可判定②正确；根据折叠的性质和已知条件证得∠CDF=∠BEF，再由BE=FE，FD=CD，即可判定△BEF∽△CDF，③正确；在Rt△BEG中，根据面积法可得EG边上的高为 ，根据三角形的面积公式即可求得S△BFG=，④正确.

详解：由题意得∠GFD=∠DFE=90°，

∴∠GFD+∠DFE=180°，故点G、F、E共线，故①正确；

设BG=x，则GF=AG=12-x，

由题意得：EF=CE=BE=6，

在Rt△BEG中，有BG2+BE2=EG2，

解得x=8，故②正确；

在四边形DCEF中，

∵∠DFE=∠DCE=90°，

∴∠CEF+∠CDF=180°，

又∠CEF+∠BEF=180°，

∴∠CDF=∠BEF，

∵BE=FE，FD=CD，

∴△BEF∽△CDF，故③正确；

在Rt△BEG中，根据面积法可得EG边上的高为 ，又FG=4，∴S△BFG=，故④正确；

所以正确的有①②③④，故选D.