Question

【题目】如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，A点的横坐标为3，则下列结论：①k=3；②关于x的不等式的解集为或；③若双曲线上有一点C的纵坐标为6，则△AOC的面积为8；④若在轴上有一点M，轴上有一点N，且点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，则M、N点的坐标分别为M(2,0)、N(0,4)，其中正确结论的个数( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：①直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为3，代入正比例函数，可求得点A的坐标，继而求得k值；②根据对称性，可求得点B的坐标，结合图象，即可求得关于x的不等式的解集；③过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC，又由双曲线y= (k＞0)上有一点C的纵坐标为6，即可求得点C的坐标，继而求得答案；④由当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，根据平移的性质，即可求得答案．

详解：

∵直线与双曲线交于A、B两点，A点横坐标为3，

∴点A的纵坐标为：y=×3=2，

∴点A（3，2），

∴2=，

∴k=6；

①错误；

∵直线与双曲线交于A、B两点，点A（3，2），

∴B（-3，-2），

∴关于x的不等式的解集为或；

②正确；

过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥轴于点E，

∵双曲线y= (k＞0)上有一点C的纵坐标为6，

∴把y=6代入y=得：x=1，

∴点C（1，6），

∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC=×（2+6）×（3-1）=8；

③正确；

如图，当MN∥AC，且MN=AC时，点M、N、A、C四点恰好构成平行四边形，

∵点A（3，2），点C（1，6），

∴根据平移的性质可得：M（2，0），N（0，4）或M′（-2，0），N′（0，-4）．

④正确；

综上，正确的结论有3个，故选B.