Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，点C为半圆上一点，AD平分∠CAB交⊙O于点D
（1）求证：OD∥AC；
（2）若AC=8，AB=10，求AD．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠DAB=∠D，

∴∠CAD=∠D，

∴AC∥OD

（2）解：连接BC，BD，

∵AD平分∠CAB交⊙O于点D，

∴ = ，

∴CE=BE，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠C=90°，

∴BC= =6，

∴CE=BE=3，

∴OE= =4，

∴DE=1，

∴BD= = ，

∴AD= =3 ．

【解析】（1）由AD平分∠CAB交⊙O于点D，得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠D，等量代换得到∠CAD=∠D，根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）连接BC，BD，根据圆周角定理得到∠C=90°，根据勾股定理即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能正确解答此题．