Question

【题目】已知矩形ABCD，点P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕P点顺时针旋转90°，点A恰好落在直线CD上点E处．
（1）如图1，点E在线段CD上，求证：AD+DE=2AB；

（2）如图2，点E在线段CD的延长线上，且点D为线段CE的中点，在线段BD上取点F，连接AF、PF，若AF=AB．求证：∠APF=∠ADB．

（3）如图3，点E在线段CD上，连接BD，若AB=2，BD∥PE，则DE= ． （直接写出结果）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠BAP+∠APB=90°，

∵∠APE=90°，

∴∠APB+∠CPE=90°，

∴∠BAP=∠CPE，

在△ABP和△PCE中， ，

∴△ABP≌△PCE，

∴AB=PC=CD，BP=CE，

∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB

（2）

解：如图，

∵AB=AF，

∴∠ABF=∠AFB，

∵AB∥DC，

∴∠ABF=∠BDC，

∴∠AFB=∠BDC，

∴∠AFD=∠EDF，

∵AB=CD=DE，AB∥CD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴BD∥AE，

∵PA=PE，∠APE=90°，

∴∠PAE=∠PEA=45°，

∴∠PMN=∠PNM=45°，

∵BD∥AE，

∴∠FAE+∠AFD=180°，∠FDE+∠AED=180°，

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠FAE=∠DEA，

∵∠PAE=∠PEA，

∴∠FAP=∠DEP，

在△APF和△EPD中， ，

∴△APF≌△EPD，

∴∠AFP=∠DEP，

∵∠AFD=∠EDF，

∴∠PFD=∠PDF，

在Rt△PCD中，PC=PD，

∴∠CDP=45°，

∴∠ADP=45°，

∴∠ADB=45°﹣∠PDF=45°﹣∠PFD，

∵∠AMB=∠PFD+∠APF=45°，

∴∠APF=45°﹣∠PFD，

∴∠APF=∠ADB

（3）3﹣
【解析】解：（3）由（1）知，△ABP≌△PCE，
∴PC=AB=2，由（1）知，AD+DE=2AB=4，
∴AD=4﹣DE，
∵DB∥PE，
∴△CPE∽△CBD，
∴ ，
∵CB=AD=4﹣DE，CD=AB=2，CE=CD﹣DE=2﹣DE，
∴ ，
∴DE=3+ （由于点E在线段CD上，且CD=2，所以舍去）或DE=3﹣ ，
即：DE=3﹣ ，
所以答案是：3﹣ ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的外角的相关知识，掌握三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，以及对相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）．