Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．

（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）已知AO角⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD= ，求 的值．
（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：过点O作OF⊥AB于点F，

∵AO平分∠CAB，

OC⊥AC，OF⊥AB，

∴OC=OF，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD=90°，

∴∠ECO+∠OCD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACE+∠ECO=90°，

∴∠ACE=∠ODC，

∵OC=OD，

∴∠OCD=∠ODC，

∴∠ACE=∠ODC，

∵∠CAE=∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∴ ，

∵tan∠D= ，

∴ = ，

∴ = ；

（3）解：由（2）可知： = ，

∴设AE=x，AC=2x，

∵△ACE∽△ADC，

∴ ，

∴AC2=AEAD，

∴（2x）2=x（x+6），

解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），

∴AE=2，AC=4，

由（1）可知：AC=AF=4，

∠OFB=∠ACB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△OFB∽△ABC，

∴ ，

设BF=a，

∴BC= ，

∴BO=BC﹣OC= ﹣3，

在Rt△BOF中，

BO2=OF2+BF2，

∴（ ﹣3）2=32+a2，

∴解得：a= 或a=0（不合题意，舍去），

∴AB=AF+BF= ．

【解析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以 ，而tan∠D= = ；（3）由（2）可知，AC2=AEAD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以 ，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．