Question

【题目】关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1 ， x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S= +x1+x2 ， S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当k=1时，原方程可化为2x+2=0，解得：x=﹣1，此时该方程有实根；

当k≠1时，方程是一元二次方程，

∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）×2

=4k2﹣8k+8

=4（k﹣1）2+4＞0，

∴无论k为何实数，方程总有实数根，

综上所述，无论k为何实数，方程总有实数根．

（2）

解：由根与系数关系可知，x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

若S=2，则 +x1+x2=2，即 +x1+x2=2，

将x1+x2、x1x2代入整理得：k2﹣3k+2=0，

解得：k=1（舍）或k=2，

∴S的值能为2，此时k=2．

【解析】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．（1）分两种情况讨论：①当k=1时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠1时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；（2）由韦达定理得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，代入到 +x1+x2=2中，可求得k的值．
【考点精析】利用求根公式和根与系数的关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商．