Question

【题目】如图，在矩形中，为对角线，点为边上一动点，连结，过点作，垂足为，连结．

(1)证明：；

(2)当点为的中点时，若，求的度数；

(3)当点运动到与点重合时，延长交于点，若，则　　．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）53°;(3)

【解析】

（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．

（2）只要证明△CPQ∽△APC，可得∠PQC=∠ACP即可解决问题．

（3）连接AF．与Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），推出DF=QF，设AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，证明△BCQ∽△CFQ，可得，推出，即，由CF∥AB，可得，推出，可得，推出x2+xy-y2=0，解得x=y或（舍弃），由此即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABP=90°，

∵BQ⊥AP，

∴∠BQP=∠ABP=90°，

∵∠BPQ=∠APB，

∴△ABP∽△BQP．

（2）解：∵△ABP∽△BQP，

∴

∴PB2=PQPA，

∵PB=PC，

∴PC2=PQPA，

∴

∵∠CPQ=∠APC，

∴△CPQ∽△APC，

∴∠PQC=∠ACP，

∵∠BAC=37°，

∴∠ACB=90°-37°=53°，

∴∠CQP=53°．

（3）解：连接AF．

∵∠D=∠AQF=90°，AF=AF，AD=AQ，

∴Rt△ADF≌Rt△AQF（HL），

∴DF=QF，设AD=AQ=BC=m，DF=FQ=x，FC=y，CQ=a，

∵∠BCF=∠CQB=∠CQF=90°，

∴∠BCQ+∠FCQ=90°，∠CBQ=90°，

∴∠FCQ=∠CBQ，

∴△BCQ∽△CFQ，

∴，

∴

∴，

∵CF∥AB，

∴，

∴

∴

∴x2+xy-y2=0，

∴ x=y或（舍弃），

∴

∴.

故答案为：.