Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，三角形AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②AG=2GC，③BE+DF=EF，④S△CEF=2S△ABE正确的有_____（只填序号）．

Answer 1

【答案】①④．

【解析】分析：先通过证明Rt△ABE≌Rt△ADF可对①进行判断；再证明AG垂直平分EF得到CG=EF，即EF=2CG，则利用EF＞AG可对②进行判断；由于∠EAG=30°，∠BAE=15°，则可判断BE≠EG，然后利用BE+DF=2BE，EF=2EG可对③进行判断；延长CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如图，易得△ABF′≌△ABE，∠EAF′=30°，设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，所以EH=x，然后根据三角形面积公式可对④进行判断．

详解：∵△AEF为等边三角形，

∴AE=AF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴BE=DF，所以①正确；

∠BAE=∠DAF，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAG=∠FAG，

∴AG垂直平分EF，

∴CG=EF，即EF=2CG，

而EF＞AG，

∴AG＜2CG，所以②错误；

∵∠EAG=30°，∠BAE=15°，

∴BE≠EG，

∴BE+DF=2BE，EF=2EG，

∴BE+DF≠EF，所以③错误；

延长CB到F′使BF′=DF，作EH⊥AF′于H，如图，

易得△ABF′≌△ABE，

∴∠EAF′=30°，

设CG=x，则EG=GF=x，AE=2x，

∴EH=x，

∴S△AF′E=2xx=x2，S△CEF=x2x=x2，

∴S△CEF=2S△ABE，所以④正确．

故答案为①④．