Question

【题目】(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长．

经过社团成员讨论发现，过点作，交的延长线于点，通过构造就可以解决问题(如图．

请回答：　　，　　．

(2)请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形中，对角线与相交于点，，，，，求的长．

Answer 1

【答案】(1) 75°;4（2）

【解析】

（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．

解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴．

又∵AO=3，

∴OD=AO=，

∴AD=AO+OD=4．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=4

故答案为：75；4．

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴．

∵BO：OD=1：3，

∴

∵AO=3,

∴EO=，

∴AE=4

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，

解得：BE=4，

∴AB=AC=8，AD=12．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，

解得：CD=4.