Question

【题目】已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．

（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证：=；

（3）若AO=2，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当点P在O的右侧时， AB=3，BM=3；点P在O的左侧时，AB=，,PB=

【解析】（1）先证明四边形OCBM是平行四边形，由于∠BMO=90°，所以OCBM是矩形，最后直角三角形斜边上的中线的性质即可证明四边形OCBM是正方形；

（2）连接AP、OB，由于∠ABP=∠AOP=90°，所以A、B、O、P四点共圆，从而利用圆周角定理可证明∠APB=∠OBM，所以△APB∽△OBM，利用相似三角形的性质即可求出答案．

（3）由于点P的位置不确定，故需要分情况进行讨论，共两种情况，第一种情况是点P在O的左侧时，第二种情况是点P在O的右侧时，然后利用四点共圆、相似三角形的判定与性质，勾股定理即可求出答案．

（1）∵2BM=AO，2CO=AO，

∴BM=CO，

∵AO∥BM，

∴四边形OCBM是平行四边形，

∵∠BMO=90°，

∴OCBM是矩形，

∵∠ABP=90°，C是AO的中点，

∴OC=BC，

∴矩形OCBM是正方形；

（2）连接AP、OB，

∵∠ABP=∠AOP=90°，

∴A、B、O、P四点共圆，

由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，

∵AO∥BM，

∴∠AOB=∠OBM，

∴∠APB=∠OBM，

∴△APB∽△OBM，

∴；

（3）当点P在O的左侧时，如图所示，

过点B作BD⊥AO于点D，

易证△PEO∽△BED，

∴，

易证：四边形DBMO是矩形，

∴BD=MO，OD=BM，

∴MO=2PO=BD，

∴，

∵AO=2BM=2，

∴BM=，

∴OE=，DE=，

易证△ADB∽△ABE，

∴AB2=ADAE，

∵AD=DO=DM=，

∴AE=AD+DE=

∴AB=，

由勾股定理可知：BE=，

易证：△PEO∽△PBM，

∴，

∴PB=；

当点P在O的右侧时，如图所示，

过点B作BD⊥OA于点D，

∵MO=2PO，

∴点P是OM的中点，

设PM=x，BD=2x，

∵∠AOM=∠ABP=90°，

∴A、O、P、B四点共圆，

∴四边形AOPB是圆内接四边形，

∴∠BPM=∠A，

∴△ABD∽△PBM，

∴，

又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，

∴AD=BM=，

∴，

解得：x=，

∴BD=2x=2

由勾股定理可知：AB=3，BM=3.