Question

【题目】如图1，已知⊙O的半径为1，∠PAQ的正切值为，AQ是⊙O的切线，将⊙O从点A开始沿射线AQ的方向滚动，切点为A'．

（1）sin∠PAQ= ，cos∠PAQ= ；

（2）①如图1，当⊙O在初始位置时，圆心O到射线AP的距离为 ；

②如图2，当⊙O的圆心在射线AP上时，AA'= ；

（3）在⊙O的滚动过程中，设A与A'之间的距离为m，圆心O到射线AP的距离为n，求n与m之间的函数关系式，并探究当m分别在何范围时，⊙O与射线AP相交、相切、相离．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）①；②；（3）n=，当0≤m＜时，⊙O与AN相交，当m=时，⊙O与AN相切，当m＞时，⊙O与AN相离．

【解析】试题分析：（1）依据锐角三角函数的定义可求得sin∠PAQ、cos∠PAQ的值；

（2）①过点O作OB⊥AP，垂足为B．依据同角的余角相等可证明∠AOB=∠QAP，然后依据锐角三角函数的定义可求得OB的长；②连接OA′．由切线的性质可知∠OA′A=90°，接下来，依据锐角三角函数的定义可求得AA′的长；

（3）当0＜m＜2时，如图3所示：连接OA′，过点O作OH⊥AP，垂足为H．在Rt△OGH中，在Rt△AA′G中，依据锐角三角函数的定义可得到OG=n、GA′=m，然后依据OG+GA′=1可得到n与m之间的函数关系式；当m＞2时，如图2所示，过点O作OH⊥AP，垂足为H，连接A′O并延长交AP与点G．依据锐角三角函数的定义可知OG=n、，GA′=m，由GA′﹣OG=1可得到n与m之间的函数关系式；接下来，依据d和r的关系可求得当直线AP与⊙O相切，相交、相离时m的取值范围．

试题解析：

解：（1）∵∠PAQ的正切值为，

∴sin∠PAQ==，cos∠QAQ==．

故答案为： ,．

（2）①如图1所示：过点O作OB⊥AP，垂足为B．

∵AQ是⊙O的切线，

∴OA⊥AQ，

∴∠OAP+∠PAQ=90°，

∵OB⊥AP，

∴∠OAP+∠AOB=90°，

∴∠AOB=∠PAQ，

∴=cos∠PAQ=，

∵OA=1，

∴OB=，

∴圆心O到射线AP的距离为.

②如图2所示：连接OA′，

∵⊙O与AQ相切，

∴OA′⊥AQ，

∴∠OA′A=90°，

∴=tan∠A，

∴AA′=2.

故答案为：2．

（3）当0≤x≤2时，如图3所示：连接OA′，过点O作OH⊥AP，垂足为H．

∵在Rt△OGH中，cos∠O==，

∴OG=n,

∵在Rt△AA′G中，tan∠A==，

∴GA′=m，

∵OG+GA′=1，

∴n+m=1，

∴n=﹣m+．

②当x＞2时，如图2所示，过点O作OH⊥AP，垂足为H，连接A′O并延长交AP与点G．

∵∠HGO=∠AGA′，∠GA′A=∠OHD=90°，

∴∠HOG=∠PAQ,

∴OG=n，GA′=m,

由GA′﹣OG=1得，n=m- ,

综上所述，n与m的函数关系式为n=.

∵当n=1时，⊙O与AP相切，此时m- =1，解得m=+，

∴当0≤m＜+时，⊙O与AN相交，

当m=+时，⊙O与AN相切；

当m＞+时，⊙O与AN相离．