Question

【题目】如图，∠AOB=90°，C在OB的延长线上，D为⊙O上一点，∠BAD=∠BDC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，且OB=BC，求四边形AOBD的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）作直径BE，连接OD、DE，如图，利用圆周角定理得到∠BDE=90°，∠E=∠BAD，由于∠BAD=∠BDC．则∠E=∠BDC，加上∠DBO=∠BDO，则∠BDC+∠BDO=90°，然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线；

（2）先根据直角斜边上中线性质得DB=OB=OD，则△OBD为等边三角形，所以S△OBD=，

∠BOD=60°，再作DF⊥OA于F，如图，则DF=OD=，所以S△ODA=，然后利用四边形AOBD的面积=S△OBD+S△ODA进行计算即可．

试题解析：

（1）证明：作直径BE，连接OD、DE，如图，

∵BE为直径，

∴∠BDE=90°，

∴∠DBE+∠E=90°，

∵∠E=∠BAD，∠BAD=∠BDC,

∴∠E=∠BDC，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∴∠BDC+∠BDO=90°，即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线.

（2）解：∵OB=CB，

∴BD为直角△ODC的斜边OC的中线，

∴DB=OB=OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴S△OBD=OB2=，∠BOD=60°，

∵OA⊥OB，

∴∠AOD=30°，

作DF⊥OA于F，如图，

在Rt△ODF中，DF=OD=，

∴S△ODA=1=，

∴四边形AOBD的面积=S△OBD+S△ODA=+=．